НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С    НЕСКОЛЬКИМИ   ОСОБЕННОСТЯМИ
  Дадим определение сначала несобственному интегралу
  Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке [ a , b ] Î [ a , w )
Тогда, если   существует:                
То его величина обозначается  
Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f   на промежутке [ a , w )
             Если предел не существует или равен бесконечности, то   говорят,что данный интеграл   расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится
Если функция   f   неотрицательна   и   непрерывна   на промежутке [ a , b ) ( b может   быть   бесконечным), то несобственный   интеграл равен площади неограниченного открытого множества   G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}
Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b ]
Если   функция    определена   на интервале   ( a , b )   и неограниченна   в точках   a и b   и   при некотором выборе   точки с   ( a , b )   существуют   несобственные   интегралы   на полуинтервалах ( a , c ] и[ c , b ), c Î ( a , b )
При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки   с . Тогда
                                                                                                                                                                    
         Y




 
 
 
                                      f ( x )
 
               0            a k             c                 l   b         X
 
Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями
Если функция f :< a , b > R   имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и   Т:   a = k 1< k 2<…< kn = b _ такое разбиение   < a , b >, что на каждом   из< ki , ki +1>, i =1 ¸ n , особой   точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :




то
сходится
Аналогично, интеграл расходится, значит
 




расходится
Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения
На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями
   Y
 




 
 
                                                                f ( x )
 
        0          a = k 1        k 2……… ki ……. kn -1                               kn = b (+   в данном случае)
      
 
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1.




  Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл    расходится   при   b
На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от   0   д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел
 
    Y










































 
 
     1
               +                            +                            +       b ?             b ?                 X
     0              p        -         2 p                -                          -      b ?            b ?      ( )
Пример 2
На концах отрезка   [0,2]   подынтегральная   функция определена.   Но   x =1   является особой    точкой
Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие   интегралы:
 
Сначала   рассмотрим   
F ( b )= ln [(1- x )/(1+ x )]   не имеет предела   при   b 1   значит исходный   интегралы   расходятся
Но следует заметить, что прежде чем исследовать   несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную   функцию, найти ее особые точки   и   построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке   [0,2]   выглядит   примерно   так
 
          Y




 
 
           1
 




 
           0           1          2                     X




 
 
     
Пример 3
 
Интеграл   сходится   -   его   значение   стремится   к   -4
Предел:  
 
  Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов
 
    1)Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f непрерывна на [ a , b ), и F - первообразная f .Тогда




 
Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f ( x )
 
2)Линейность несобственного интеграла
 
Если несобственные интегралы
 
Сходятся,то для любых чисел   m , n сходятся несобственный интеграл
 
 
3)Интегрирование по частям
 
Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке [ a , b ),то
 
Причем,если любые два из выражений
 
имеют   смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):
 
Причем
 
 
4)Замена переменной в несобственном интеграле
 
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t t2;тогда
 
При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным, и наоборот:
Пример 6:
 
 
 
Монотонность несобственного интеграла
 
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке <a,b> и f(x)<g(x) для всех x Î <a,b>,то
 




Рисунок 6,7:
 
               
      Y                                                                                       Y
                                                                                                                       g ( x )
 
                                      g(x)                                                                           f(x)  
 
       0                                     f(x)                             X                              0           a b                              X
                                                                                                                
Следствие: f Î R^<a,b>;|f| Î R^<a,b>;
 
Рисунок 8:




 
      Y
 




 
 
                                          | f |
                         +                  +             +               +
        0           a                       -                              -
                                     f
В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b > в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда:
Пример7:
f = g =1/ Ö x на промежутке (0,1]
 
т.е. сходится, а для fg =1/ x
 
Интеграл расходится, функция fg =1/ x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]
Несобственные интегралы от знакопостоянных функций
В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы, значение которых точно вычислить затруднительно, например (8.1)
 
и тогда перед студентом ставится задача: исследовать несобственный интеграл на сходимость, не вычисляя его значения. Для этого необходимо   применять следующие методы:
Признак сравнения
Основной признак для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопостоянных функций. Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения, несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить, и дать заключение о сходимости исходного интеграла, используя следующие утверждения:
Пусть функции f(x) и g(x)   неотрицательны на полуинтервале [a,b) и f(x)<g(x).Тогда из сходимости




Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости
 









Для применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций. Основными являются степенные функции вида  




Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке [a, ), а также попробуем применить с их использованием признак сравнения
 
Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках [a, ) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b)
Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:
Пример 8:
 
Пример 9:
 
 
 
  Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0, на данном интервале, либо существует предел
 
Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a]:
 
 
Если подынтегральная функция обладает особой точкой x=b, тогда надо   отыскать функцию сравнения в виде:
 
Исследование которой, при замене переменной y=x-b приведёт нас к только что рассмотренному случаю на интервале (0;a]
 
Пример 10




 
Видно, что интеграл расходится. На интервале [3;5) функция сравнения принимает следующий вид
 
Бывают случаи, когда для отыскания функции сравнения используется таблица эквивалентных замен
При   x 0
Ln(1+x)~x
Sinx~x
Tgx~x
Arcsinx,arctgx~x
Нельзя забывать, что при x
Cosx, sinx - это ограниченные функции arctgx p /2,(- p /2 при x - ), arcctgx 0( p при x - )
При x 0 Arccosx,arcc